Um pouco sobre os números primos: Infinitude dos números primordiais

Número primo é todo número natural maior do que $1$ que possui exatamente dois divisores o $1$ e ele próprio. São exemplos de primos os números $2,3,5,7$ e $11$. Se um número não é primo ele é composto. Vamos discutir sobre a infinitude da quantidade de tais números. Muitas vezes essa informação é dada como um dogma na escola de tal modo que parece óbvio a existência de infinitos números primos e esse não é um fato trivial.

Bem, mas por que se questionar sobre a infinitude dos números primos? À primeira vista, pode-se conjecturar que não existem infinitos números primos. De fato, de $1$ até $10$ existem $4$ números primos, isto é, 40% dos $10$ primeiros números naturais são primos. De $1$ até $100$ temos 25 primos, de 40% passamos a ter uma proporção de 25%. Já de $1$ até $1000$ notamos $168$ números primos, assim a proporção de números primos neste intervalo é $16,8$%. Se continuarmos vamos notar que menos de $3,77$% do primeiro trilhão de números são primos. Isso dá a ideia de que eles se tornam mais raros. 

Densidade dos números primos. 

De sorte que, $1/\ln(x)$ é a densidade média dos números primos no intervalo de $1$ até $x$. Então, possivelmente se tornam tão raros que sumam, visto que, $1/ln(x) \to 0$ quando $x \to + \infty$. Outro fato que colabora para suspeitarmos da infinitude dos primos é o fato de existirem desertos de números primos. Podemos criar intervalos tão grandes quanto queremos de números consecutivos compostos. Basta considerarmos o conjunto,

$$A=\{(n+1)!+2, (n+1)!+3, (n+1)!+4, ..., (n+1)!+(n+1)\}.$$

Com $n \in \mathbb{N}$. Este subconjunto dos naturais é formado por $n$ números consecutivos compostos. De fato, podemos garantir que $(n+1)!+2$ é divisível por $2$, que o $(n+1)!+3$ é divisível por $3$ e assim sucessivamente. Bem, como exemplo numérico podemos criar uma sequência de $1000$ números consecutivos e compostos,

$$B=\{1001!+2, 1001!+3, ..., 1001!+1000, 1001!+1001\}.$$

Por fim a verdade:

Apesar de todos os possíveis indícios gerados por nossa investigação acima, sabemos que nossa suspeita é falsa. A demonstração a seguir é creditada a Euclides, mas não é, de fato, dele. A demonstração de Euclides é construtiva, então nossa demonstração é na realidade uma adaptação. Por simplicidade faremos por redução ao absurdo.

Demonstração:

Suponha por absurdo que há uma quantidade finita de números primos. Seja o conjunto $P=\{p_1,p_2,...,p_n\}$ onde $p_i$ é primo para todo $i=1,2,...,n$ e $p_1=2<p_2<....<p_n$. Isto é, $P$ é o conjunto de todos os números primos. Agora considere,

$$N=p_1p_2...p_n.$$

Também consideremos o número natural $N+1$. Por hipótese $N+1$ não é primo pois $p_n$ é o maior número primo e $N+1>p_n \Rightarrow N+1 \notin P$. Então, pelo Teorema fundamental da Aritmética existe pelo menos um $p_i \in P$ para algum $i$, tal que $p_i|(N+1).$ Mas, por outro lado $p_i| N \Rightarrow p_i|(N+1)-N \Rightarrow p_i|1$, o que é um absurdo pois $p_i>1$. Portanto, existem infinitos números primos.$\,\,\,\square$

 

Um pequeno desafio:

1) Mostre que existem infinitos primos da forma $4k+3$ com $k \in \mathbb{N}.$

A solução será postada em breve! 

Referências 

MARTINEZ, F. B. et al. Teoria dos Números: um passeio com primos e outros números. IMPA, Rio de Janeiro, 5ª edição, 2018.